Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải).

Bài ghi chép Cách xét tính bị ngăn của sản phẩm số với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn tập dượt, biết phương pháp thực hiện bài xích tập dượt Cách xét tính bị ngăn của sản phẩm số.

Cách xét tính bị ngăn của sản phẩm số (cực hoặc đem điều giải)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1) Nếu số hạng tổng quát tháo mang lại bên dưới dạng thì:

Thu gọn gàng un, phụ thuộc vào biểu thức thu gọn gàng nhằm ngăn u_n.

Ta cũng hoàn toàn có thể ngăn tổng vị một tổng tuy nhiên tớ hoàn toàn có thể hiểu rằng ngăn bên trên, ngăn bên dưới của chính nó.

2) Nếu sản phẩm số (u_n) mang lại vị một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán ngăn bên trên, ngăn bên dưới rồi chứng tỏ vị cách thức chứng tỏ quy hấp thụ.

Ta cũng hoàn toàn có thể xét tính đơn điệu (nếu có) tiếp sau đó giải bất phương trình u_n+1 − u_n phụ thuộc vào ê ngăn (u_n).

3) Nếu số hạng tổng quát tháo mang lại vị công thức thì tớ phụ thuộc vào cách thức Reviews (chú ý n ∈ N*)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số (un) đem

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn dưới

Hướng dẫn giải:

* Với n∈ N* tớ đem :

Nên dãy số bị chặn bên dưới vị 0

+ Lại có; với n ∈ N*

Nên sản phẩm (u_n) bị ngăn bên trên vị 2.

=> sản phẩm số (u_n)bị ngăn.

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số (u_n) biết u_n = (−1)ⁿ

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> − 1 ≤ u_n ≤ 1 với từng n nên (un) là dãy số bị chặn.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số (u_n) biết u_n = 4n − 2

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Hướng dẫn giải:

Ta đem n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2

=> sản phẩm số (u_n) bị ngăn bên dưới vị 2 và sản phẩm (u_n) không biến thành ngăn bên trên.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên.

B.Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới.

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số không biến thành ngăn.

Hướng dẫn giải:

+ Xét hiệu:

Vậy (u_n) là sản phẩm số tăng.

+ Ta có:

suy đi ra ∀n ∈ N*; u_n < 2 nên (u_n) bị ngăn bên trên. (1)

Vì (u_n) là sản phẩm số tăng nên

=> (u_n) bị ngăn bên dưới. (2)

Từ (1) và (2) suy đi ra (u_n) bị ngăn.

=> D sai.

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vị u_n = 1 + (n − 1) . 2ⁿ. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Công thức truy hồi của sản phẩm số là:

C. 5 số hạng thứ nhất của sản phẩm số là một,5,17, 49, 129.

D. Dãy số bị ngăn bên trên.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

=> C trúng

+ Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

+ Ta có: u_n+1 − u_n = (n+1). 2n > 0

Suy đi ra sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số tăng.

Ta có: u_n = 1 + (n − 1).2ⁿ ≥ 1 với ∀n ≥ 1

=> (u_n) là dãy số bị chặn bên dưới.

=> D sai.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề trúng.

A. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên ; không biến thành ngăn bên dưới.

B. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới ; không biến thành ngăn bên trên.

C.Dãy số (u_n) không biến thành ngăn.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

Công thức u_n được ghi chép lại:

Với từng n ∈ N* tớ đem : 2n² + 4 > 0

=> (u_n) bị ngăn bên trên vị

+ Lại đem : với từng n ∈ N* thì : n² + 1 > 0 và 2n² + 4 > 0

=>(u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

Vậy sản phẩm số (u_n) là bị ngăn

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số bị ngăn bên trên.

C. Dãy số bị ngăn bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

D.Dãy số bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

* Ta ghi chép lại:

Xét hiệu số:

Vậy sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số tăng.

* Ta có:

Suy đi ra (u_n) là 1 trong những dãy số bị chặn.

Kết luận (u_n) là 1 trong những sản phẩm số tăng và bị ngăn.

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho sản phẩm số (u_n) được xác lập vị u_n = n² − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của sản phẩm số là :

B. Dãy số bị ngăn bên dưới.

C. Tổng n số hạng thứ nhất của sản phẩm số là

D. Dãy số bị ngăn bên trên.

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u₁ = 1² − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

* Ta có: u_n = n² − 4n + 4 − 1 = (n − 2)² − 1 ≥ 1 với ∀n ≥ 1

Vậy dãy số bị chặn bên dưới, tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

*Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 9: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vị . Tìm mệnh đề trúng nhất ?

A. Dãy số bị ngăn bên trên ; không biến thành ngăn bên dưới.

B. Dãy số bị ngăn bên dưới ; không biến thành ngăn bên trên.

C. Dãy số không biến thành ngăn.

D. Dãy số bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

+ Rõ ràng u_n > 0 với từng n nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

+ Lại có:

Suy ra:

=> (u_n) bị ngăn bên trên.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 10: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập vị . Chọn mệnh đề trúng ?

A. Dãy số bị ngăn.

B. Dãy số bị ngăn bên trên tuy nhiên không biến thành ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

D. Dãy số không biến thành ngăn .

Hướng dẫn giải:

* Rõ ràng u_n > 0 với ∀n ∈ N* nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

* Có . Do đó:

với từng n.

=> (u_n) bị ngăn bên trên vị 2.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Chọn A.

Ví dụ 11: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số hạn chế, bị ngăn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

* Với từng n ∈ N* ; tớ đem u_n > 0. Xét tỉ số

=> u_n+1 < u_n nên sản phẩm (u_n) là sản phẩm số hạn chế.

* Vì sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số hạn chế nên u_n ≤ u₁ = 2 ∀n

Suy ra: 0 < u_n ≤ 2 ∀n ∈ N*

=> sản phẩm (u_n) là sản phẩm bị ngăn.

Chọn D .

Ví dụ 12: Cho sản phẩm số . Xét sản phẩm số y_n = x_n+1 − x_n. Khẳng toan này trúng về sản phẩm (y_n)

A. Tăng,bị chặn    B. Giảm,bị chặn

C. Tăng,ngăn dưới    D. Giảm,ngăn bên trên

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó:

Ta chứng tỏ sản phẩm (yn) tăng.

Ta có:

Ta chứng tỏ sản phẩm (y_n) bị ngăn.

Trước không còn tớ bệnh minh: x_n ≤ 4(n−1) (1) với n ≥ 2

* Với n = 2, tớ có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) trúng với n = 2.

* Giả sử (1) trúng với n = k, tức là: x_k ≤ 4(k−1). Ta chứng tỏ trúng với n = k + 1

Nên (1) trúng với n= k+1. Theo vẹn toàn lí quy hấp thụ tớ suy đi ra (1) đúng

Ta có:

Vậy Việc được chứng tỏ.

C. Bài tập dượt trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n): u_n = 4 − 3n − n²

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: C

Ta đem

=> sản phẩm số (u_n) bị ngăn trên; sản phẩm (u_n) không biến thành ngăn bên dưới.

Câu 2: Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

+ Với từng n ∈ N* tớ đem 2n > 0 và n² − n + 1 > 0

nên u_n > 1 (1)

+ sát dụng bất đẳng thức Cô- si tớ được: n² + 1 ≥ 2n

=> n² − n + 1 ≥ n nên

=> u_n ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy đi ra sản phẩm số (u_n) là bị ngăn.

Câu 3: Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: A

* Với từng n vẹn toàn dương tớ có:

* Lại có: với từng n ∈ N*

Vậy 0 < u_n ≤ 2 nên sản phẩm số (u_n) là dãy số bị chặn.

Câu 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị ngăn bên trên.     B. Dãy số bị ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn.     D. Dãy số ko bị ngăn.

Lời giải:

Đáp án: C

* Với từng n ∈ N* tớ có: u_n > 0

=> (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

Lại có:

Suy đi ra

=> (u_n) bị ngăn bên trên vị

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Câu 5: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị ngăn

B. Dãy số bị ngăn trên; không biến thành ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn dưới; không biến thành ngăn bên trên.

D. Dãy số không biến thành ngăn.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Với từng n ∈ N* tớ đem u_n > 0 nên dãy số bị chặn bên dưới vị 0.

+ Lại có:

Suy ra:

Nên (u_n) bị ngăn bên trên.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Câu 5: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề sai?

A. Với từng n ∈ N*; u_n < 15

B. Dãy số (u_n) là sản phẩm số tăng.

C. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn.

Lời giải:

Đáp án: D

* Ta sử dụng quy hấp thụ bệnh minh: với từng n ∈ N*; u_n < 15

Ta đem u₁ = 1 < 15 nên trúng với n= 1.

Giả sử trúng với n = k; k ∈ N* tức là có: u_k < 15.

khi ê

Vậy u_n < 15 với ∀n ∈ N*. (1)

* Ta đem (do (1))

=> sản phẩm số (u_n) tăng

=> u_n ≥ u₁ = 1 nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 1.

Câu 6: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị ngăn bên trên tuy nhiên không biến thành ngăn bên dưới.

B. Dãy số bị chặm bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

C. Dãy số bị ngăn.

D. Dãy số không biến thành ngăn.

Lời giải:

Đáp án: C

*Với k = 2,3...n tớ đem

Do đó:

Vế nằm trong vế suy ra:

=>(u_n) bị ngăn bên trên vị 2.

* Mặt khác; với ∀n ∈ N* tớ có: u_n > 0

=> (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

=> (u_n) bị ngăn.

Câu 7: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh vị . Tìm mệnh đề trúng trong những mệnh đề sau .

A. Dãy số (u_n) bị ngăn.

B.Dãy số (u_n) không biến thành ngăn .

C. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên tuy nhiên không biến thành ngăn bên dưới.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới tuy nhiên không biến thành ngăn bên trên.

Lời giải:

Đáp án: A

*Với từng n∈ N* tớ có: nên (u_n) bị ngăn bên dưới vị 0.

* Lại có:

Mà:

Suy ra: u_n < 3 với từng n nên sản phẩm số (u_n) bị ngăn bên trên vị 3.

Kết luận: sản phẩm số (u_n) bị ngăn.

Câu 8: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số hạn chế, bị chặn

C. Dãy số ko tăng ko hạn chế, không biến thành chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

* Ta có: với từng n ≥ 1.

Suy đi ra u_n+1 > u_n ∀n ≥ 1 ⇔ sản phẩm (u_n) là sản phẩm tăng.

* Mặt khác:

Với n ≥ 1; thì

Lại đem với n ≥ 1 thì

Suy ra:

Vậy sản phẩm (u_n) là sản phẩm bị ngăn.

Câu 9: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số hạn chế, bị ngăn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có:

=> u_n+1 > u_n ∀n > 1 => sản phẩm (u_n) là sản phẩm số tăng.

* Lại có:

sản phẩm (u_n) bị ngăn bên dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, hạn chế và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số hạn chế, bị ngăn    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

+ Với từng n ∈ N* tớ đem : u_n > 0 . Xét tỉ số :

=> u_n+1 < u_n với từng n.

=> Dãy số (u_n) là sản phẩm số hạn chế.

+ Mặt không giống : √(1 + n + n²) > 1 với ∀n ∈ N*

Vậy 0 < u_n < 1 nên sản phẩm (u_n) là sản phẩm bị ngăn.

Câu 11: Xét tính tăng hạn chế và bị ngăn của sản phẩm số

A. Tăng, bị chặn    B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, ngăn dưới    D. Giảm, ngăn bên trên

Lời giải:

Đáp án: B

*Trước không còn vị quy hấp thụ tớ bệnh minh: 1 < u_n ≤ 2

Điều này trúng với n = 1.

Giả sử trúng với n = k + 1 tức là: 1 < u_k ≤ 2. Ta chứng tỏ trúng với n = k+ 1.

Thật vậy tớ có:

nên tớ đem đpcm.

Mà

Vậy sản phẩm (u_n) là sản phẩm hạn chế và bị ngăn.

Câu 12: Xét tính tăng hạn chế và bị ngăn của sản phẩm số

A. Tăng, bị chặn     B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, ngăn dưới     D. Giảm, ngăn bên trên

Lời giải:

Đáp án: A

*Trước không còn tớ chứng tỏ 1 < u_n < 4

Điều này minh bạch trúng với n = 1.

Giả sử trúng với n = k tức là: 1 < u_k < 4. Ta chứng tỏ trúng với n = k + 1

Thật vậy: 1 < u_k+1 = u_k + √(u_k-1) < √4 + √4 = 4

Vậy sản phẩm (u_n) là bị ngăn.

*Ta chứng tỏ (un) là sản phẩm tăng

Ta có: u₁ < u₂, fake sử u_n+1 < u_n, ∀n ≥ k.

Khi đó:

=> sản phẩm (u_n) là sản phẩm tăng.

Vậy sản phẩm (u_n) là sản phẩm tăng và bị ngăn.

D. Bài tập dượt tự động luyện

Bài 1. Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số sau:

a. u_n = n² + n – 1

b. u_n = – n² + 1

Bài 2. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n), với u_n = 2n – 1.

Bài 3. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số sau: u_n = $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+2\right)}$.

Bài 4. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số sau: u_n = $\frac{2n+1}{n+2}$.

Bài 5. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số sau:

a. (a_n) với a_n = ${\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\cos \frac{n\pi }{4}$;

b. (u_n) với u_n = $\frac{6n-4}{n+2}$.

Xem tăng những dạng bài xích tập dượt Toán lớp 11 đem nhập đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Cách chứng tỏ vị cách thức quy hấp thụ (cực hoặc đem điều giải)
• Cách dò thám số hạng loại n của sản phẩm số (cực hoặc đem điều giải)
• Cách dò thám công thức của số hạng tổng quát tháo (cực hoặc đem điều giải)
• Cách xét tính đơn điệu của sản phẩm số (cực hoặc đem điều giải)
• Cách chứng tỏ một sản phẩm số là cấp cho số nằm trong (cực hoặc đem điều giải)
• Cách dò thám số hạng thứ nhất, công sai, số hạng loại k của cấp cho số cùng với hay

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp