Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số - Các Dạng Bài Tập Và Ví Dụ

1. Các dạng toán về xét tính liên tục của hàm số và cách thức giải

Phần kiến thức và kỹ năng về tính chất liên tiếp của hàm số là chủ thể vô cùng cần thiết vô công tác toán 11 bậc trung học phổ thông. Bài luyện xét tính liên tục của hàm số xuất hiện nay thật nhiều trong những đề đánh giá, đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia trong những năm. Để ăn dĩ nhiên điểm của dạng bài bác này, những em nằm trong VUIHOC điểm lại 6 dạng toán về xét tính liên tục của hàm số, kèm cặp cách thức và ví dụ giải cụ thể nhé!

1.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điểm

Phương pháp giải cộng đồng của dạng xét tính liên tục của hàm số bên trên một điểm như sau:

Cho hàm số hắn = f(x). Xét tính liên tiếp của hàm số hắn bên trên điểm x = x₀, học viên hoàn toàn có thể triển khai theo đòi 2 cơ hội sau đây:

Cách 1:

• Bước 1: Tính độ quý hiếm của hàm số hắn bên trên x₀ (Tính f(x₀))

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao được hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Cách 2: 

• Bước 1: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao với hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Ví dụ minh họa dạng 1:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}$ bên trên điểm x = -2

Giải:

Ta thấy f(-2) ko xác lập, do đó hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên x = -2.

Ví dụ 2: 

a. Tìm $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)$

b. Xét tính liên tiếp của f(x) bên trên x = 2 và x = -2

Giải:

a. Ta với $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{3-\sqrt{x^{2}+5}}{x^{2}-4}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{9-x^{2}-5}{(x^{2}-4)(3+\sqrt{x^{2}+5})}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{-1}{3+\sqrt{x^{2}+5}}=-16$

b. Từ phần a, tao hoàn toàn có thể suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=f(2)$. Như vậy, hàm số đang được cho tới liên tiếp bên trên điểm x = 2. trái lại, hàm số hắn = f(x) ko xác lập bên trên x = -2 nên hắn ko liên tiếp bên trên x = -2.

1.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng tầm, đoạn hoặc luyện xác định

Hàm số f(x) liên tiếp bên trên một quãng, khoảng tầm hoặc luyện xác lập nế như đó liên tiếp bên trên từng điểm bên trên đoạn, khoảng tầm hoặc luyện xác lập cơ.

Lưu ý:

• Hàm số f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] Khi hàm số cơ liên tiếp bên trên khoảng tầm (a;b) và thỏa mãn nhu cầu điều kiện:

$\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$

• Hàm số nhiều thức thông thường với đặc điểm liên tiếp bên trên toàn cỗ luyện số thực R.

• Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm con số giác liên tiếp bên trên từng khoảng tầm của luyện xác lập của bọn chúng.

Phương pháp xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng tầm, đoạn hoặc luyện xác định:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}+5x}{x} và Khi \, x \neq 0\\ 
5 và Khi \, x=0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy Khi $x\neq 0$, hàm số đề bài bác là hàm phân thức và trọn vẹn xác lập nên f(x) liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Do vậy, tao cần thiết xét tính liên tục của hàm số bên trên điểm x = 0. Ta có:

• Giá trị của hàm số bên trên x = 0: f(0) = 5 

• Giới hạn của f(x) bên trên x = 0 là:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{x^{2}+5x}{x}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(x+5)=5$

Vì $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(0)$, do đó hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0.

Kết luận: Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên luyện R.

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên luyện xác định:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
2x-1 và Khi \, x <  0\\ 
\sqrt{x} và Khi \, x\geq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy tức thì, luyện xác lập của f(x) là R.

Trường thích hợp x < 0: $f(x) = 2x - 1$ là hàm số liên tiếp.

Trường thích hợp x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tiếp.

Từ cơ suy đi ra, tao chỉ việc xét thêm thắt tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là hoàn toàn có thể Kết luận.

Tại x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}\sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}(2x-1)$

$=-1$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$, suy đi ra hàm số bị con gián đoạn bên trên x=0.

Kết luận: hàm số đang được cho tới ko liên tiếp bên trên luyện xác lập.

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô tổ hợp kiến thức và kỹ năng và thi công trong suốt lộ trình ôn ganh đua chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông sớm kể từ bây giờ

1.3. Dạng 3: Tìm điểm con gián đoạn của hàm số f(x)

Điểm con gián đoạn của hàm số f(x) tức là tồn bên trên một điểm x₀ khiến cho hàm số f(x₀) ko liên tiếp.

Để giải được bài bác luyện dạng dò thám điểm con gián đoạn của hàm số f(x), tao thực hiện theo lần lượt theo đòi công việc sau đây:

• Bước 1: Tìm độ quý hiếm f(x₀)

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: So sánh f(x₀) rồi rút đi ra Kết luận. Nếu thỏa mãn: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao Kết luận hàm số liên tiếp bên trên $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)\neq f(x_{0})$ tao Kết luận hàm số ko liên tiếp bên trên $x_{0}$.

• Bước 4: Kết luận theo đòi đòi hỏi của đề bài bác.

Các em nằm trong VUIHOC xét 2 ví dụ tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài bác luyện này nhé!

Ví dụ 1: Dùng khái niệm, xét tính liên tiếp của f(x) = x³ + 2x - 1 bên trên x₀ = 3.

Giải:

Ta có:  $f(x)=x^{3}+2x-1 \Rightarrow f(3)=3.3+2.3-1=32$
$\underset{x\rightarrow 3}{lim}(x^{3}+2x-1)=\underset{x\rightarrow 3}{lim}x^{3}+2.\underset{x\rightarrow 3}{lim}x-1=3^{3}+2.3-1=32$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 3}{lim}f(x)=f(3)$

Vậy, f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀ = 3

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số hắn = g(x) bên trên x0=2, biết:
$g(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-8}{x-2},x\neq 2\\
5,x=2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ta với g(2)=5

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+2x+4)=12$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)\neq g(2)$

Vậy, g(x) ko liên tiếp bên trên điểm x₀ = 2

1.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một điểm

Theo lý thuyết đã và đang được học tập, hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên điểm $\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Dựa theo đòi khái niệm, nhằm dò thám ĐK thỏa mãn nhu cầu hàm số liên tiếp bên trên một điểm, tất cả chúng ta cần thiết tuân theo công việc sau đây:

• Bước 1: Xác lăm le coi hàm số đề bài bác với xác lập bên trên điểm x₀ đang được cho tới hay là không. Tính f(x₀).

• Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1

• Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀, suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

• Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Cùng xét ví dụ minh họa tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài bác luyện này nhé!

Ví dụ 1: Tìm thông số m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm x=1:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2-3x+2}} và Khi \, x \neq 1\\ 
-3mx-1 và Khi \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Ta thấy hàm số đang được xác lập bên trên x = 1, f(1) = -3m.1-1.

Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(x-1)(5x-2)}{(x-1)(x-2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{5x-2}{x-2}=-3$

Ta với, hàm số f(x) liên tiếp bên trên x0=1 khi: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)\Leftrightarrow -3m-1=3\Leftrightarrow m=\frac{-2}{3}$

Kết luận: m = -3

Ví dụ 2: 

Giải:

Hàm số đang được cho tới liên tiếp bên trên điểm x = 1, suy đi ra $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x) = f(1) = m$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x^{3}+ax^{2}-4x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x(x-1)^{2}+(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2x+\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}]$

=$2+\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$

Vì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ với tồn bên trên nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$ tồn bên trên (a + 4)x² - 6x + b = 0, nhận x = một là nghiệm kép.

Do vậy, phối hợp $x_{0}=\frac{6}{2(a+4)}=1$ và $\Delta=9-(a+4)b=0$ tao được a = -1; b = 3

Suy ra: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2+3=5\Rightarrow m=5$

Vậy, đáp án nên chọn là B.

1.5. Dạng 5: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng tầm, đoạn hoặc luyện xác định

Để giải dạng bài bác luyện xét tính liên tục của hàm số bên trên khoảng tầm đoạn hoặc luyện xác lập, tao cần dùng ĐK nhằm hàm số liên tiếp kết phù hợp với ĐK nhằm phương trình với nghiệm.

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên x₀: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên luyện D này là f(x) nên liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong D.

• Phương trình f(x) = 0 với tối thiểu một nghiệm bên trên luyện D Khi hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên D, với nhì số a,b nằm trong D sao cho tới f(a).f(b) < 0.

• Phương trình f(x)= 0 với k nghiệm bên trên luyện D Khi hàm số f(x) liên tiếp bên trên D và tồn bên trên k tách nhau (a_i;a_i+1) (i=1,2,...,k) trực thuộc luyện D thỏa mãn nhu cầu f_(ai).f_(ai+1) < 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xác lăm le a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên luyện R

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2} và Khi \, x <2\\ 
(1-a)x và Khi \, x\geq 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số f(x) xác lập bên trên R

• x < 2 thì hàm số liên tục

• x > 2 thì hàm số liên tục

• x = 2, tao có:

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}(1-a)x=(1-a)2=f(2)$

$\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}a^{2}(\sqrt{x+2}+2)=4a^{2}$

Như vậy, hàm số liên tiếp bên trên R $\Rightarrow$ Hàm số liên tiếp bên trên x = 2.

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow 4a^{2} =(1-a)2$

$\Leftrightarrow a=-1, a=0.5$

Vậy a nhận 2 độ quý hiếm là a = -1, a = 0.5

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên luyện R:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} và Khi \, x >0\\ 
2x^{2}+3m+1 và Khi \, x\leq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Với x < 0: hàm số liên tục

Với x > 0: hàm số liên tục

Với x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=x0-(2x2+3m+1)=3m+1=f(0)$

Vậy, hàm số bên trên liên tiếp bên trên R => hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=3m+1$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{6}$

Kết luận: Giá trị m cần thiết dò thám là $m=\frac{-1}{6}$

1.6. Dạng 6: Ứng dụng hàm số liên tiếp nhằm chứng tỏ phương trình với nghiệm

Để chứng tỏ được phương trình với nghiệm vận dụng tính liên tiếp của hàm số, tao cần thiết tổ chức theo đòi công việc sau đây:

• Bước 1: Biến thay đổi phương trình đề bài bác cho tới trở nên dạng f(x) = 0

• Bước 2: Tìm độ quý hiếm 2 số a và b (a < b) thỏa mãn nhu cầu ĐK f(a).f(b) < 0

• Bước 3: Chứng minh nhằm hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a;b]. Từ cơ tao suy đi ra được phương trình f(x) = 0 với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong đoạn (a;b).

Ta nằm trong xét những ví dụ sau nhằm hiểu rộng lớn về phong thái phần mềm hàm số liên tiếp chứng tỏ phương trình với nghiệm.

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4x³ - 8x² + 1= 0 với nghiệm nằm trong (-1;2)

Giải:

Ta có:

f(x) = 4x³ - 8x² + 1 liên tiếp bên trên luyện R.

$\Rightarrow f(-1)=-11, f(2)=1\Rightarrow (-1).f(2)<0$

Theo đặc điểm hàm số liên tiếp, phương trình đề bài bác với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 với tối thiểu 2 nghiệm trong tầm (-1;1)

Giải:

Xét f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3 suy đi ra f(x) liên tiếp bên trên R.

Ta có:

f(-1) = 4 + 2 + 1 - 3 = 4

f(0) = -3

f(1) = 2

Do f(-1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm vô (-1;0)

Do f(1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm vô (0;1)

Vì 2 khoảng tầm (-1;0) và (0;1) ko uỷ thác nhau, nên phương trình đề bài bác với tối thiểu 2 nghiệm nằm trong khoảng tầm (-1;1).

2. Bài luyện áp dụng về tính chất liên tiếp của hàm số

Dưới đấy là 10 bài bác luyện trắc nghiệm áp dụng tính liên tiếp của hàm số giành cho những em học viên rèn luyện hằng ngày. Cùng lưu về tìm hiểu thêm nhé!

Bài 1: Cho hàm số:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
a^{2}x^{2} , x\leq \sqrt{2},a\epsilon R\\
(2-a)x^{2},x> \sqrt{2}
\end{matrix}\right.$

Giá trị của a nhằm f(x) liên tiếp bên trên R là:

A. 1 và 2    B. 1 và -1    C. -1 và 2    D. 1 và -2

Giải chi tiết:

Bài 2: Cho hàm số

Đáp án: B

Bài 3: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Hàm số liên tiếp bên trên x khi: $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=f(0) \Leftrightarrow a+2=1\Leftrightarrow a=-1$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 5: Cho hàm số:

Giải chi tiết: 

Chọn đáp án B vì thế x = 2 ko nằm trong với luyện xác lập của f(x).

Bài 6: Khẳng lăm le này đích thị trong những xác minh bên dưới đây:

Đáp án A.

Bài 7: Khẳng lăm le này bên dưới đấy là xác minh đúng?

Đáp án: B

Bài 8: Cho hàm số:

Đáp án B.

Bài 9: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 10: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Đăng ký tức thì nhằm nhận hoàn hảo cỗ kiến thức và kỹ năng và những dạng bài bác tương quan cho tới tính liên tiếp của hàm số

Trên đấy là toàn cỗ 6 phương pháp xét tính liên tục của hàm số thuộc chương trìnhToán 11 với kèm cặp ví dụ minh họa và cỗ bài bác luyện rèn luyện hằng ngày. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục học tập thêm thắt được những tài năng nhằm xử lý dạng toán này dễ dàng và đơn giản rộng lớn. Hãy truy vấn trang web dạy dỗ Vuihoc.vn hoặc trung tâm tương hỗ nhằm học tập thêm thắt nhiều kiến thức và kỹ năng toán trung học phổ thông nhằm mục tiêu sẵn sàng hành trang cho tới kỳ ganh đua trung học phổ thông Quốc gia sắp tới đây nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết