Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết).

Bài viết lách Công thức, phương pháp tính góc thân mật nhì vecto với cách thức giải cụ thể canh ty học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác tập luyện Công thức, phương pháp tính góc thân mật nhì vecto.

Công thức, phương pháp tính góc thân mật nhì vecto (cực hoặc, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Sử dụng khái niệm góc thân mật nhì vectơ

Định nghĩa góc thân mật nhì vectơ: Cho nhì vectơ đều không giống vectơ-không. Từ một điểm O ngẫu nhiên, tao vẽ những vectơ . Khi cơ số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc thân mật nhì vectơ , hoặc giản dị là góc thân mật nhì vectơ .

Phương pháp 2: (Áp dụng nhập hệ tọa độ) Tính cos góc thân mật nhì vectơ, kể từ cơ suy rời khỏi góc thân mật 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho nhì vectơ . Khi đó

Chú ý: Góc thân mật nhì vectơ nằm trong [0°;180°]

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Tính góc thân mật nhì vectơ:

Hướng dẫn giải:

- Nhớ lại định nghĩa nhì vectơ đều bằng nhau ở chương 1: Hai vectơ đều bằng nhau khi bọn chúng nằm trong phía và nằm trong chừng lâu năm.

- Trên tia đối của tia CB lấy D sao mang đến CB = CD.

Ví dụ 2: Cho những vectơ Tính góc thân mật nhì vectơ .

Hướng dẫn giải:

Vậy góc thân mật nhì vectơ là góc α ∈ [0°;180°] vừa lòng .

Ví dụ 3: Trong mặt mũi bằng phẳng tọa chừng Oxy, mang đến nhì vectơ . Tính góc thân mật nhì vectơ .

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 30°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho nhì vectơ có tính lâu năm vị 1 và vừa lòng ĐK . Tính góc thân mật nhì vectơ .

A. 60°

B. 30°

C. 120°

D. 150°

Hướng dẫn giải:

Vì (bình phương vô phía vị bình phương chừng dài)

Đáp án C

Ví dụ 5: Cho những vectơ vừa lòng . Góc thân mật vectơ và vectơ là

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

C. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Tính góc thân mật vecto a và vectơ c, biết vectơ $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và mang đến các vectơ a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: c = a – b

Nên c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a| . |b| . cos(a,b) + |b|²

Suy rời khỏi c² = 4² – 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 hoặc |c| = $\sqrt{3}$.

Ta lại có: a . c = a . (a – b) = a² – a . b hay a . c =3 

Do đó a . c = |a| . |c| . cos (a, c)

Hay 3 = 2.$\sqrt{3}$. cos(a, c)

Do cơ, cos(a, c) = $\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc giữa 2 vectơ bằng 30^o.

Bài 2. Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC song một vuông góc và đều có độ dài là 1. Gọi M là trung điểm của canh AB. Tính góc giữa nhì vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

Lấy N là trung điểm của AC suy rời khỏi MN // BC.

Ta có: $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{MN}\right)=180°-\widehat{OMN}$

Xét tam giác OMN có OM = ON = $\frac{1}{\sqrt{2}}$; MN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy rời khỏi $\cos \widehat{OMN}=\frac{1}{2}$ hoặc $\widehat{OMN}=60°$.

Do cơ $\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right)=120°$.

Bài 3. Tính góc thân mật 2 vectơ a và b, hiểu được 2 vectơ a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b| = $\sqrt{7}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left|3a+2b\right|=\sqrt{7}$ hoặc ${\left(3a\cdot 2b\right)}^2 =7$ nên 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a² = |a|² =1; b² = |b|² =1.

Nê 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 =  7 nên 12ab = 7 – 4 – 9  = –6 hoặc ab = $-\frac{1}{2}$.

Do đó: $cos\left(a;b\right)=\frac{a.b}{\left|a\right|.\left|b\right|}=-\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa 2 vectơ a và b là 120 độ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD sở hữu $\widehat{BAD}=120°$. Tính góc giữa nhì vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi)

Suy rời khỏi $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$.

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}=120°$.

Do cơ $\left(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\right)=120°$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng MN = $a\sqrt{3}$. Tính góc giữa AC và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB, tao có IM = IN = a

Áp dụng định lý của Cosin mang đến tam giác IMN tao có:

$\cos \widehat{MIN}=\frac{I{M}^2+I{N}^2-M{N}^2}{2.IM.IN}$ = $\frac{a^2+a^2-3a^2}{2.a.a}=-\frac{1}{2}$

=> $\widehat{MIN}=60°$.

Vậy góc thân mật AC và BD vị 60 chừng.

Bài 6. Cho những vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{2i}+\overrightarrow{3j}$. Tính góc thân mật nhì vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 7. Trong mặt mũi bằng phẳng tọa chừng Oxy, mang đến nhì vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;5\right);\overrightarrow{b}=\left(3;7\right)$. Tính góc thân mật nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 8. cho nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ có tính lâu năm vị 1 và vừa lòng ĐK $\left|3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}=9\right|$. Tính góc thân mật nhì vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$. 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có lòng là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa nhì đường thẳng SD và BC nằm nhập khoảng nào?

Xem thêm thắt những dạng bài bác tập luyện Toán lớp 10 tinh lọc, sở hữu đáp án hoặc không giống khác:

• Cách tính chừng lâu năm vecto, khoảng cách thân mật nhì điểm nhập hệ tọa chừng (cực hoặc, chi tiết)
• Cách chứng tỏ Hai vecto vuông góc (cực hoặc, chi tiết)
• Tìm m nhằm góc thân mật nhì vecto vị một vài mang đến trước rất rất hoặc (45 chừng, góc nhọn, góc tù)
• Cách giải bài bác tập luyện về Định lí Cô-sin nhập tam giác (cực hoặc, chi tiết)

Để học tập chất lượng tốt lớp 10 những môn học tập sách mới:

• Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Chân trời sáng sủa tạo
• Giải bài bác tập luyện Lớp 10 Cánh diều

tich-vo-huong-cua-hai-vecto-va-ung-dung.jsp