Số phức nghịch đảo là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng - VUIHOC

1. Số phức nghịch tặc hòn đảo là gì?

Trước Khi lần hiểu về số phức nghịch đảo, tất cả chúng ta hãy nằm trong ôn lại định nghĩa số phức. 

• Số phức là biểu thức sở hữu dạng $z=a+bi$, nhập cơ $a,b$ là những số nguyên; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị chức năng ảo. Quy ước: $i^{2}=-1$.

• Số phức nghịch tặc hòn đảo, hoặc còn được gọi là nghịch tặc hòn đảo của số phức, ký hiệu z^-1 là số phức sở hữu dạng sao cho tới tích của số phức nghịch đảo và số phức sở hữu sản phẩm vày 1: $z^{-1}.z=1$ 

2. Lý thuyết số phức nghịch đảo

Chúng tớ trọn vẹn hoàn toàn có thể minh chứng được: 

$z^{-1}=\frac{1}{\left | z \right | ^{2}} . \bar{z} = \frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)$

Suy ra: $z^{-1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}(a-bi)(a+bi)=\frac{a^{2}-b^{2}i^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1$

• Số phức nghịch tặc hòn đảo của $z=a+bi$ là $z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}$

• Số nghịch tặc hòn đảo của $z=a+bi (z\neq 0)$ là $z^{-1} = \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}$

Đăng ký ngay lập tức nhằm nhận bí quyết tóm trọn vẹn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài bác tập luyện Toán đua trung học phổ thông Quốc Gia

3. Một số bài bác tập luyện lần số phức nghịch đảo và lời nói giải chi tiết

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức sau: z=3+4i?

Lời giải: 

Số phức nghịch tặc hòn đảo của $z=3+4i$ là:

$z^{-1}=\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{3^{2}-(4i)^{2}}=\frac{3-4i}{9+16}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$

Vậy số phức nghịch đảo của số phức $z=3+4i$ là $z^{-1}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$

Bài 2: Số phức nghịch tặc hòn đảo của $z=2-2i$ là:

1. $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

2. $\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

3. $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

4. $-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$

Lời giải: $z=2-2i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{2-2i}=\frac{1+i}{2(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2(1-i^{2})}=\frac{1+i}{2.2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

Đáp án cần thiết chọn: C. $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i$

Bài 3: Hãy lần số nghịch tặc hòn đảo của số phức $z=10+8i$? 

Lời giải: 

$z=10+8i \Rightarrow z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{10+8i}=\frac{10-8i}{(10-8i)(10+8i)}=\frac{10-8i}{10^{2}+8^{2}}=\frac{10-8i}{164}$

$\Rightarrow z^{-1} = \frac{5}{82} - \frac{2}{41}i$

Vậy số phức nghịch đảo của $z=10+8i$ là $z^{-1}=\frac{5}{82}-\frac{2}{41}i$

Bài 4: Đáp án này bên dưới đó là số phức nghịch đảo của $z=1+3i$:

1. $\frac{1}{10}(1-3i)$

2. $1-3i$

3. $\frac{1}{\sqrt{10}}(1+3i)$

4. $\frac{1}{10}(1+3i)$

Lời giải:

$z=1+3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{1+3i}=\frac{1-3i}{1^{2}-(3i)^{2}}=\frac{1-3i}{10}=\frac{1}{10}(1-3i)$

Đáp án cần thiết chọn: A.  $\frac{1}{10}(1-3i)$

Bài 5: Số phức nghịch tặc hòn đảo của số phức $z=\sqrt{2}-3i$ là đáp án này bên dưới đây:

1. $\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$

2. $\frac{\sqrt{2}}{11}-\frac{3}{11}i$

3. $\frac{3}{11}+\frac{\sqrt{2}}{11}i$

4. $\frac{3}{11}-\frac{\sqrt{2}}{11}i$

Lời giải: 

$z=\sqrt{2}-3i \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{2-9i^{2}}=\frac{\sqrt{2}+3i}{11}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$

Đáp án cần thiết chọn: A. $\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$ 

4. Hướng dẫn cơ hội giải số phức nghịch đảo sử dụng máy tính di động Casio

Để tiết kiệm ngân sách thời hạn thực hiện bài bác, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể giải những vấn đề tương quan cho tới số nghịch tặc hòn đảo của số phức bằng phương pháp dùng PC di động Casio:

Ví dụ: Tìm số nghịch tặc hòn đảo của số phức sau:  

a, $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$

b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}$

c, $5+i\sqrt{3}$

d, $i$

e, $1+2i$

Hướng dẫn:

Thực hiện nay giải vấn đề bên trên sử dụng máy tính di động Casio theo đuổi quá trình sau:

Bước 1: Bấm MODE 2 nhằm lựa chọn lịch trình đo lường số phức

Bước 2: Nhập  $(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}$ hoặc $\frac{1}{(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}}$, bấm phím = tớ được sản phẩm $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

Bước 3: Ghi sản phẩm nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của $\sqrt{2}-i\sqrt{3}$ là $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

b, Thực hiện nay tương tự động tớ được kết quả: Số phức nghịch tặc hòn đảo của $\frac{1-i\sqrt{3}}{7+2i}$ là $\frac{7-2\sqrt{3}}{4}+\frac{2+7\sqrt{3}}{4}i.$

c, Thực hiện nay giải vấn đề bên trên sử dụng máy tính di động Casio theo đuổi quá trình sau:

Bước 1: Bấm MODE 2 nhằm lựa chọn lịch trình đo lường số phức

Bước 2: Nhập $5+i\sqrt{3}$ hoặc $\frac{1}{5+i\sqrt{3}}$, bấm phím "=" tớ được kết quả:

$\frac{5}{28}-\frac{3}{28}i$

Bước 3: Ghi sản phẩm nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của $5+i\sqrt{3}$ là $\frac{5}{28}-\frac{3}{28}i$

d. Thực hiện nay tương tự động tớ được kết quả: Số phức nghịch tặc hòn đảo của $i$ là $-i.$

e. Thực hiện nay tương tự động tớ được kết quả: Số phức nghịch tặc hòn đảo của $1+2i$ là $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$

Để hiểu nhiều hơn thế về những dạng bài bác tập luyện số phức nhất là số phức nghịch đảo, những em chớ bỏ lỡ bài bác giảng vô nằm trong thú vị và thú vị tại đây của thầy Thành Đức Trung. Chắc chắn nhập bài bác giảng sẽ sở hữu những tips giải bài bác số phức, cách thức bấm máy số phức đặc biệt hoặc và có lợi đó!

Trên đó là tổ hợp định nghĩa, quyết định lý số phức nghịch đảo với mọi bài bác tập luyện và chỉ dẫn giải cụ thể. Hy vọng những em tiếp tục giành được mối cung cấp xem thêm có lợi và hoàn toàn có thể vận dụng nhằm thực hiện những bài bác đánh giá. Hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK thông tin tài khoản nhằm học tập thêm thắt nhiều hình thức bài bác tập luyện và ôn đua trung học phổ thông Quốc Gia nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết