Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hay có lời giải).

Bài viết lách Cách xét tính bị chặn của dãy số với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài xích tập luyện Cách xét tính bị chặn của dãy số.

Cách xét tính bị chặn của dãy số (cực hoặc sở hữu điều giải)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1) Nếu số hạng tổng quát tháo cho tới bên dưới dạng thì:

Thu gọn gàng un, nhờ vào biểu thức thu gọn gàng nhằm ngăn u_n.

Ta cũng rất có thể ngăn tổng bởi một tổng tuy nhiên tớ rất có thể hiểu rằng ngăn bên trên, ngăn bên dưới của chính nó.

2) Nếu sản phẩm số (u_n) cho tới bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán ngăn bên trên, ngăn bên dưới rồi minh chứng bởi cách thức minh chứng quy hấp thụ.

Ta cũng rất có thể xét tính đơn điệu (nếu có) tiếp sau đó giải bất phương trình u_n+1 − u_n nhờ vào ê ngăn (u_n).

3) Nếu số hạng tổng quát tháo cho tới bởi công thức thì tớ nhờ vào cách thức review (chú ý n ∈ N*)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số (un) sở hữu

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn dưới

Hướng dẫn giải:

* Với n∈ N* tớ sở hữu :

Nên sản phẩm số bị ngăn bên dưới bởi 0

+ Lại có; với n ∈ N*

Nên sản phẩm (u_n) bị ngăn bên trên bởi 2.

=> sản phẩm số (u_n)bị ngăn.

Chọn A.

Ví dụ 2: Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số (u_n) biết u_n = (−1)ⁿ

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn dưới

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> − 1 ≤ u_n ≤ 1 với từng n nên (un) là sản phẩm số bị ngăn.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số (u_n) biết u_n = 4n − 2

A. Bị chặn    B. Không bị chặn    C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Hướng dẫn giải:

Ta sở hữu n ≥ 1 nên 4n − 2 ≥ 2

=> sản phẩm số (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 2 và sản phẩm (u_n) không trở nên ngăn bên trên.

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên.

B.Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới.

C. Dãy số tăng.

D. Dãy số không trở nên ngăn.

Hướng dẫn giải:

+ Xét hiệu:

Vậy (u_n) là sản phẩm số tăng.

+ Ta có:

suy rời khỏi ∀n ∈ N*; u_n < 2 nên (u_n) bị ngăn bên trên. (1)

Vì (u_n) là sản phẩm số tăng nên

=> (u_n) bị ngăn bên dưới. (2)

Từ (1) và (2) suy rời khỏi (u_n) bị ngăn.

=> D sai.

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập bởi u_n = 1 + (n − 1) . 2ⁿ. Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Công thức truy hồi của sản phẩm số là:

C. 5 số hạng trước tiên của sản phẩm số là 1 trong những,5,17, 49, 129.

D. Dãy số bị ngăn bên trên.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

=> C trúng

+ Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

+ Ta có: u_n+1 − u_n = (n+1). 2n > 0

Suy rời khỏi sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số tăng.

Ta có: u_n = 1 + (n − 1).2ⁿ ≥ 1 với ∀n ≥ 1

=> (u_n) là sản phẩm số bị ngăn bên dưới.

=> D sai.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập bởi . Chọn mệnh đề trúng.

A. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên ; không trở nên ngăn bên dưới.

B. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới ; không trở nên ngăn bên trên.

C.Dãy số (u_n) không trở nên ngăn.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

Công thức u_n được viết lách lại:

Với từng n ∈ N* tớ sở hữu : 2n² + 4 > 0

=> (u_n) bị ngăn bên trên bởi

+ Lại sở hữu : với từng n ∈ N* thì : n² + 1 > 0 và 2n² + 4 > 0

=>(u_n) bị ngăn bên dưới bởi 0.

Vậy sản phẩm số (u_n) là bị ngăn

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập bởi . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số bị ngăn bên trên.

C. Dãy số bị ngăn bên dưới tuy nhiên không trở nên ngăn bên trên.

D.Dãy số bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

* Ta viết lách lại:

Xét hiệu số:

Vậy sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số tăng.

* Ta có:

Suy rời khỏi (u_n) là một trong sản phẩm số bị ngăn.

Kết luận (u_n) là một trong sản phẩm số tăng và bị ngăn.

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho sản phẩm số (u_n) được xác lập bởi u_n = n² − 4n + 3. Tìm mệnh đề sai.

A. Công thức truy hồi của sản phẩm số là :

B. Dãy số bị ngăn bên dưới.

C. Tổng n số hạng trước tiên của sản phẩm số là

D. Dãy số bị ngăn bên trên.

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u₁ = 1² − 4.1 + 3 = 0

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

* Ta có: u_n = n² − 4n + 4 − 1 = (n − 2)² − 1 ≥ 1 với ∀n ≥ 1

Vậy sản phẩm số bị ngăn bên dưới, tuy nhiên không trở nên ngăn bên trên.

*Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 9: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập bởi . Tìm mệnh đề trúng nhất ?

A. Dãy số bị ngăn bên trên ; không trở nên ngăn bên dưới.

B. Dãy số bị ngăn bên dưới ; không trở nên ngăn bên trên.

C. Dãy số không trở nên ngăn.

D. Dãy số bị ngăn.

Hướng dẫn giải:

+ Rõ ràng u_n > 0 với từng n nên (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 0.

+ Lại có:

Suy ra:

=> (u_n) bị ngăn bên trên.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 10: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập bởi . Chọn mệnh đề trúng ?

A. Dãy số bị ngăn.

B. Dãy số bị ngăn bên trên tuy nhiên không trở nên ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn bên dưới tuy nhiên không trở nên ngăn bên trên.

D. Dãy số không trở nên ngăn .

Hướng dẫn giải:

* Rõ ràng u_n > 0 với ∀n ∈ N* nên (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 0.

* Có . Do đó:

với từng n.

=> (u_n) bị ngăn bên trên bởi 2.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Chọn A.

Ví dụ 11: Xét tính tăng, rời và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số rời, bị ngăn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

* Với từng n ∈ N* ; tớ sở hữu u_n > 0. Xét tỉ số

=> u_n+1 < u_n nên sản phẩm (u_n) là sản phẩm số rời.

* Vì sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số rời nên u_n ≤ u₁ = 2 ∀n

Suy ra: 0 < u_n ≤ 2 ∀n ∈ N*

=> sản phẩm (u_n) là sản phẩm bị ngăn.

Chọn D .

Ví dụ 12: Cho sản phẩm số . Xét sản phẩm số y_n = x_n+1 − x_n. Khẳng quyết định nào là trúng về sản phẩm (y_n)

A. Tăng,bị chặn    B. Giảm,bị chặn

C. Tăng,ngăn dưới    D. Giảm,ngăn bên trên

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó:

Ta minh chứng sản phẩm (yn) tăng.

Ta có:

Ta minh chứng sản phẩm (y_n) bị ngăn.

Trước không còn tớ triệu chứng minh: x_n ≤ 4(n−1) (1) với n ≥ 2

* Với n = 2, tớ có: x₂ = 4x₁ = 4 nên (1) trúng với n = 2.

* Giả sử (1) trúng với n = k, tức là: x_k ≤ 4(k−1). Ta minh chứng trúng với n = k + 1

Nên (1) trúng với n= k+1. Theo vẹn toàn lí quy hấp thụ tớ suy rời khỏi (1) đúng

Ta có:

Vậy việc được minh chứng.

C. Bài tập luyện trắc nghiệm

Câu 1: Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n): u_n = 4 − 3n − n²

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: C

Ta sở hữu

=> sản phẩm số (u_n) bị ngăn trên; sản phẩm (u_n) không trở nên ngăn bên dưới.

Câu 2: Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

+ Với từng n ∈ N* tớ sở hữu 2n > 0 và n² − n + 1 > 0

nên u_n > 1 (1)

+ sát dụng bất đẳng thức Cô- si tớ được: n² + 1 ≥ 2n

=> n² − n + 1 ≥ n nên

=> u_n ≤ 3 (2).

Từ (1) và (2) suy rời khỏi sản phẩm số (u_n) là bị ngăn.

Câu 3: Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Bị chặn    B. Không bị chặn

C. Bị ngăn trên    D. Bị ngăn bên dưới

Lời giải:

Đáp án: A

* Với từng n vẹn toàn dương tớ có:

* Lại có: với từng n ∈ N*

Vậy 0 < u_n ≤ 2 nên sản phẩm số (u_n) là sản phẩm số bị ngăn.

Câu 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị ngăn bên trên.     B. Dãy số bị ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn.     D. Dãy số ko bị ngăn.

Lời giải:

Đáp án: C

* Với từng n ∈ N* tớ có: u_n > 0

=> (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 0.

Lại có:

Suy rời khỏi

=> (u_n) bị ngăn bên trên bởi

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Câu 5: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề sai?

A. Dãy số bị ngăn

B. Dãy số bị ngăn trên; không trở nên ngăn bên dưới.

C. Dãy số bị ngăn dưới; không trở nên ngăn bên trên.

D. Dãy số không trở nên ngăn.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Với từng n ∈ N* tớ sở hữu u_n > 0 nên sản phẩm số bị ngăn bên dưới bởi 0.

+ Lại có:

Suy ra:

Nên (u_n) bị ngăn bên trên.

Kết luận (u_n) bị ngăn.

Câu 5: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề sai?

A. Với từng n ∈ N*; u_n < 15

B. Dãy số (u_n) là sản phẩm số tăng.

C. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn.

Lời giải:

Đáp án: D

* Ta sử dụng quy hấp thụ triệu chứng minh: với từng n ∈ N*; u_n < 15

Ta sở hữu u₁ = 1 < 15 nên trúng với n= 1.

Giả sử trúng với n = k; k ∈ N* tức là có: u_k < 15.

khi ê

Vậy u_n < 15 với ∀n ∈ N*. (1)

* Ta sở hữu (do (1))

=> sản phẩm số (u_n) tăng

=> u_n ≥ u₁ = 1 nên (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 1.

Câu 6: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số bị ngăn bên trên tuy nhiên không trở nên ngăn bên dưới.

B. Dãy số bị chặm bên dưới tuy nhiên không trở nên ngăn bên trên.

C. Dãy số bị ngăn.

D. Dãy số không trở nên ngăn.

Lời giải:

Đáp án: C

*Với k = 2,3...n tớ sở hữu

Do đó:

Vế nằm trong vế suy ra:

=>(u_n) bị ngăn bên trên bởi 2.

* Mặt khác; với ∀n ∈ N* tớ có: u_n > 0

=> (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 0.

=> (u_n) bị ngăn.

Câu 7: Cho sản phẩm số (u_n) xác đinh bởi . Tìm mệnh đề trúng trong những mệnh đề sau .

A. Dãy số (u_n) bị ngăn.

B.Dãy số (u_n) không trở nên ngăn .

C. Dãy số (u_n) bị ngăn bên trên tuy nhiên không trở nên ngăn bên dưới.

D. Dãy số (u_n) bị ngăn bên dưới tuy nhiên không trở nên ngăn bên trên.

Lời giải:

Đáp án: A

*Với từng n∈ N* tớ có: nên (u_n) bị ngăn bên dưới bởi 0.

* Lại có:

Mà:

Suy ra: u_n < 3 với từng n nên sản phẩm số (u_n) bị ngăn bên trên bởi 3.

Kết luận: sản phẩm số (u_n) bị ngăn.

Câu 8: Xét tính tăng, rời và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số rời, bị chặn

C. Dãy số ko tăng ko rời, không trở nên chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

* Ta có: với từng n ≥ 1.

Suy rời khỏi u_n+1 > u_n ∀n ≥ 1 ⇔ sản phẩm (u_n) là sản phẩm tăng.

* Mặt khác:

Với n ≥ 1; thì

Lại sở hữu với n ≥ 1 thì

Suy ra:

Vậy sản phẩm (u_n) là sản phẩm bị ngăn.

Câu 9: Xét tính tăng, rời và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số rời, bị ngăn trên    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: B

* Ta có:

=> u_n+1 > u_n ∀n > 1 => sản phẩm (u_n) là sản phẩm số tăng.

* Lại có:

sản phẩm (u_n) bị ngăn bên dưới.

Câu 10: Xét tính tăng, rời và bị ngăn của sản phẩm số (u_n) biết

A. Dãy số tăng, bị ngăn trên    B. Dãy số tăng, bị ngăn dưới

C. Dãy số rời, bị ngăn    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: C

+ Với từng n ∈ N* tớ sở hữu : u_n > 0 . Xét tỉ số :

=> u_n+1 < u_n với từng n.

=> Dãy số (u_n) là sản phẩm số rời.

+ Mặt không giống : √(1 + n + n²) > 1 với ∀n ∈ N*

Vậy 0 < u_n < 1 nên sản phẩm (u_n) là sản phẩm bị ngăn.

Câu 11: Xét tính tăng rời và bị ngăn của sản phẩm số

A. Tăng, bị chặn    B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, ngăn dưới    D. Giảm, ngăn bên trên

Lời giải:

Đáp án: B

*Trước không còn bởi quy hấp thụ tớ triệu chứng minh: 1 < u_n ≤ 2

Điều này trúng với n = 1.

Giả sử trúng với n = k + 1 tức là: 1 < u_k ≤ 2. Ta minh chứng trúng với n = k+ 1.

Thật vậy tớ có:

nên tớ sở hữu đpcm.

Mà

Vậy sản phẩm (u_n) là sản phẩm rời và bị ngăn.

Câu 12: Xét tính tăng rời và bị ngăn của sản phẩm số

A. Tăng, bị chặn     B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, ngăn dưới     D. Giảm, ngăn bên trên

Lời giải:

Đáp án: A

*Trước không còn tớ minh chứng 1 < u_n < 4

Điều này phân biệt trúng với n = 1.

Giả sử trúng với n = k tức là: 1 < u_k < 4. Ta minh chứng trúng với n = k + 1

Thật vậy: 1 < u_k+1 = u_k + √(u_k-1) < √4 + √4 = 4

Vậy sản phẩm (u_n) là bị ngăn.

*Ta minh chứng (un) là sản phẩm tăng

Ta có: u₁ < u₂, fake sử u_n+1 < u_n, ∀n ≥ k.

Khi đó:

=> sản phẩm (u_n) là sản phẩm tăng.

Vậy sản phẩm (u_n) là sản phẩm tăng và bị ngăn.

D. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Xét tính bị ngăn của những sản phẩm số sau:

a. u_n = n² + n – 1

b. u_n = – n² + 1

Bài 2. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số (u_n), với u_n = 2n – 1.

Bài 3. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số sau: u_n = $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+2\right)}$.

Bài 4. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số sau: u_n = $\frac{2n+1}{n+2}$.

Bài 5. Xét tính bị ngăn của sản phẩm số sau:

a. (a_n) với a_n = ${\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\cos \frac{n\pi }{4}$;

b. (u_n) với u_n = $\frac{6n-4}{n+2}$.

Xem tăng những dạng bài xích tập luyện Toán lớp 11 sở hữu nhập đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Cách minh chứng bởi cách thức quy hấp thụ (cực hoặc sở hữu điều giải)
• Cách dò xét số hạng loại n của sản phẩm số (cực hoặc sở hữu điều giải)
• Cách dò xét công thức của số hạng tổng quát tháo (cực hoặc sở hữu điều giải)
• Cách xét tính đơn điệu của sản phẩm số (cực hoặc sở hữu điều giải)
• Cách minh chứng một sản phẩm số là cấp cho số nằm trong (cực hoặc sở hữu điều giải)
• Cách dò xét số hạng trước tiên, công sai, số hạng loại k của cấp cho số cùng với hay

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp