Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (hay, chi tiết).

Bài ghi chép Cách tính tích vô hướng của hai vectơ với cách thức giải cụ thể canh ty học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài xích tập luyện Cách tính tích vô hướng của hai vectơ.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Trong không khí, mang lại nhị vectơ u→ và v→ đều không giống 0→ . Tích vô vị trí hướng của nhị vectơ u→ và v→ là một trong những, kí hiệu là u→. v→, được xác lập vị công thức:

Trong tình huống u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, tớ quy ước u→. v→ = 0→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi bại liệt cos(AB; DM) vị :

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD sở hữu AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác lập góc thân thiết cặp vectơ AB→ và CD→ ?

A. 60°               B. 45°               C . 120°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA = SB = SC và . Hãy xác lập góc thân thiết cặp vectơ SC→ và AB→ ?

A. 120°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Quảng cáo

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC sở hữu SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc thân thiết hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau SC và AB

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC sở hữu AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc thân thiết hai tuyến đường trực tiếp chéo cánh nhau SA và BC

A. 30°               B. 45°                C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Vậy SA ⊥ BC

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu như

thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đích thị không?

Sau đấy là tiếng giải:

Bước 1:

⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự động, kể từ AC→.AD→ = AD→.AB→ tớ được AD→ ⊥ BC→ và AB→.AC→ = AD→.AB→ tớ được AB→ ⊥ CD→

Bước 3: trái lại đích thị, vì như thế quy trình minh chứng ở bước 1 và 2 là quy trình thay đổi tương đương

Bài giải bên trên đích thị hoặc sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3

B. Đúng

C. Sai ở bước 2

D. Sai ở bước 1

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bài giải đúng

C. Bài tập luyện vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD sở hữu AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc thân thiết AB và CD. Chọn xác minh đúng?

A. cosα = (3/4)                B. α = 60°                C. α = 30°                D. cosα = 1/4

Lời giải:

Chọn D

Câu 2: Cho tứ diện ABCD sở hữu AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J theo lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác lập góc thân thiết cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120°                B. 90°                C. 60°                D. 45°

Lời giải:

Xét tam giác ICD sở hữu J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ→ = (1/2)(IC→ + ID→)

Tam giác ABC sở hữu AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB    (1)

Tương tự động, tớ sở hữu tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB    (2)

Từ ( 1) và (2) tớ sở hữu

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn ABCD cạnh vị a và những cạnh mặt mũi đều vị a. Gọi M và N theo lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng

A. 45°                B. 30°                C. 90°                D.60°

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông vắn cạnh a ⇒ AC = a√2

Ta sở hữu : AC² = 2a²= SA² + SC²

⇒ tam giác SAC vuông taị S.

Từ fake thiết tớ sở hữu MN là lối tầm của tam giác DSA ⇒ MN→ = (1/2).SA→

Khi bại liệt

Chọn C

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH sở hữu cạnh vị a. Tính AB→.EG→

Lời giải:

Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG→ = AC→ ⇒ AB→.EG→ = AB→.AC→

Mặt không giống AC→ = AB→ + AD→ ( quy tắc hình hộp) .

Suy ra

Chọn B

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 sở hữu cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị B₁M→.BD₁→ là:

Lời giải:

Chọn A

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc thân thiết hai tuyến đường trực tiếp AB và CD bằng:

A. 60°                B. 30°                C. 90°                D. 45°

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì như thế ABCD là tứ diện đều) sở hữu AM ; BM là hai tuyến đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên mặt khác là lối cao.

Suy rời khỏi AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc thân thiết hai tuyến đường trực tiếp AB và CD vị 90°.

Chọn C

Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh vị a. Gọi O là tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác BCD. Góc thân thiết AO và CD vị từng nào ?

A. 0°                B. 30°                C. 90°                D. 60°

Lời giải:

Câu 8: Cho nhị vectơ a→ và b→ thỏa mãn: . Gọi α là góc thân thiết nhị vectơ a→ và b→. Chọn xác minh đúng?

Lời giải:

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Tìm độ quý hiếm của k tương thích thỏa mãn:

A. k = 1                B. k = 2                C. k = 0                D. k = 4

Lời giải:

Chọn đáp án C

Câu 10: Trong không khí mang lại tam giác ABC sở hữu trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng?

A. AB² + AC² + BC² = 2.(GA² + GB² + GC²)

B. AB² + AC² + BC² = GA² + GB² + GC²

C. AB² + AC² + BC² = 4.(GA² + GB² + GC²)

D. AB² + AC² + BC² = 3.(GA² + GB² + GC²)

Lời giải:

Cách 1

Ta có

Tương tự động tớ suy rời khỏi được GA² + GB² + GC²

Chọn đáp án D.

D. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a sở hữu lối cao AM. Tính những tính vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$

Bài 2. Trong mặt mũi phẳng phiu tọa chừng mang lại nhị vectơ $\overrightarrow{u}=\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3};1\right).$ Tính tích vô phía thân thiết nhị vectơ bên trên.

Bài 3. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh a. Tính tích vô phía sau: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$.

Bài 4. Cho 2 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thỏa mãn nhu cầu $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{1,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\mathrm{2,}\left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{15}$. Tính $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) MA² + MC² = MB² + MD²;

b) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}$.

Bài tập luyện tự động luyện Hai vecto nhân nhau

Bài 1. Cho nhị vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không giống vecto ko thỏa mãn nhu cầu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$. Tính góc thân thiết nhị vec tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Bài 2. Cho nhị vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. thạo Cho nhị vectơ $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{2,}\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}$ và $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$. Tính $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$.

Bài 3. Cho tam giác ABC sở hữu $\widehat{ABC}=30°$, AB = 5, BC = 8. Tính $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$.

Bài 4. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh 2a. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Bài 5. Cho tam giác vuông cân nặng ABC có  AB = AC = a. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.