Phép Đối Xứng Tâm: Lý Thuyết, Công Thức Và Bài Tập (Có Đáp Án)

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm được khái niệm như sau:

    Cho điểm I, quy tắc thay đổi hình thay đổi điểm I trở nên chủ yếu nó, thay đổi từng điểm M không giống I trở nên M′ sao cho tới M ′ đối xứng với M qua loa I (hay I đó là trung điểm  thì được gọi là phép đối xứng tâm I). 

    Tâm đối xứng được kí hiệu là I

1.1 Kí hiệu 

Đ$_{I}$ là kí hiệu của phép đối xứng tâm I

 1.2. Công thức

    Từ khái niệm phép đối xứng tâm tớ hoàn toàn có thể suy rời khỏi được công thức như sau:

    M'=Đ$_{I}(M)\Rightarrow \overline{IM'} =-\overline{IM}$

1.3. Biểu biểu diễn hình ảnh qua loa phép đối xứng tâm

    Nếu hình ℋ  đem hình ℋ ’ là hình ảnh qua  Đ$_{I}$ thì tớ còn rằng là ℋ ’ đối xứng với ℋ  qua loa tâm I, hoặc ℋ  và ℋ ’ đối xứng cùng nhau qua loa I. 

2. Tính hóa học phép đối xứng tâm

2.1.Tính hóa học 1

• Nếu Đ$_{I}$(M) = M' và Đ$_{I}$(N)=N'

        Thì M'N' = MN

              $\overline{M'N'} = \overline{-MN}$

Lưu ý: 

Nếu thân phụ điểm M, N, Phường trực tiếp mặt hàng theo gót trật tự thì qua loa phép đối xứng tâm I trở thành M’, N’, P’ ứng cũng trực tiếp mặt hàng theo gót trật tự ê.

2.2. Tính hóa học 2

• Bảo toàn khoảng cách đằm thắm nhì điểm

• Chuyển một đường thẳng liền mạch trở nên đường thẳng liền mạch tuy vậy song hoặc trùng với nó

• Chuyển một quãng trực tiếp trở nên đoạn trực tiếp vì thế với đoạn trực tiếp đó

• Chuyển một tam giác trở nên tam giác vì thế tam giác ban đầu

• Biến một đàng tròn trĩnh phát triển thành một đàng tròn trĩnh không giống đem nằm trong phân phối kính 

Tham khảo tức thì cỗ tư liệu ôn luyện kỹ năng và kiến thức và tổ hợp toàn cỗ cách thức giải những dạng bài bác luyện xuất hiện tại vô đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán

3. Biểu thức tọa phỏng của phép đối xứng tâm

3.1. Biểu thức tọa phỏng của quy tắc đối xứng qua loa gốc tọa độ

Trong mặt mày phẳng phiu tọa phỏng Oxy cho tới M(x; y), gọi tọa điểm M’(x’; y’) là hình ảnh của M qua loa phép đối xứng tâm O, tớ có:

      Đ$_{O}$(M) = M' 

Thì x' = -x 

      y' = -y

3.2. Biểu thức tọa phỏng của phép đối xứng tâm bất kỳ

Gọi M’(x’; y’) là hình ảnh của M(x; y) vô mặt mày phẳng phiu Oxy cho tới I(a; b), M(x; y), qua loa phép đối xứng tâm I thì tớ có:

     Đ$_{I}(M) =M'$ 

     Nên điểm I là trung điểm của MM’

     Suy ra: tọa phỏng $I (a; b) = (\frac{x  +  x'}{2}; \frac{y  +  y'}{2})$

       $\Rightarrow a =\frac{x  +  x'}{2}$ 

         $b =\frac{y  +  y'}{2})$

      $\Rightarrow 2a =x+x'$

         $2b =y+y'$

Suy ra:

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa: điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu như phép đối xứng tâm O thay đổi ℋ trở nên chủ yếu nó.

Ví dụ vô thực tế

Tâm đối xứng của một vài hình phẳng

* Phương pháp dò la tâm đối xứng của một hình 

Nếu hình tiếp tục cho tới là một trong những nhiều giác thì dùng tính chất: Một nhiều giác đem tâm đối xứng O thì qua loa phép đối xứng tâm O từng đỉnh của chính nó cần trở thành một đỉnh của nhiều giác, từng cạnh của chính nó cần trở thành một cạnh của nhiều giác tuy vậy song và vì thế cạnh ấy.

Nếu hình tiếp tục cho tới ko cần là một trong những nhiều giác thì tớ tiếp tục dùng khái niệm.

5. Một số dạng bài bác luyện về phép đối xứng tâm kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên (có điều giải)

5.1. Dạng 1: Tìm hình ảnh của một điểm qua loa phép đối xứng tâm

Phương pháp: vận dụng biểu thức tọa phỏng của phép đối xứng tâm

Gọi M’(x’; y’) là hình ảnh của M(x; y) qua loa phép đối xứng tâm 

Nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa phỏng O (0; 0)

    x’ =  − x

    y’ =  − y

Nếu tâm đối đối xứng là gốc tọa phỏng I(a; b)

    x’ = 2a − x

    y’ = 2b − y

VD1: Trong mặt mày phẳng phiu tọa phỏng Oxy. Hình ảnh của điểm M(-2021; 2022) qua loa phép đối xứng tâm O(0; 0) là:

a. M’(2021; 2022)

b. M’(2021; -2022)

c. M’(-2021; 2022)

d. M’(-2021; -2022)

Giải 

Qua phép đối xứng tâm O, đem M’(x’, y’) là hình ảnh của M qua loa phép đối xứng tâm O

Ta đem biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm O là:

    x’ = -x = 2021

    y’ = -y = -2022

M’(2021; -2022)

Chọn đáp án B

VD2: Trong mặt mày phẳng phiu tọa phỏng Oxy. Hình ảnh của điểm M(1; -6) qua loa phép đối xứng tâm I(-2; 5) là:

a. M’(-5; 16)

b. M’(5; -16)

c. M’(-4; 3)

d. M’(4; -3)

Giải

Qua phép đối xứng tâm I fake sử điểm M’(x’, y’) là hình ảnh của M 

Ta đem biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm I là:

     x’ = 2a - x

     y’ = 2b - y 

⇔ x’ = 2 . (-2) - 1

     y’ = 2 . 5 - (-6) 

⇔ x’ = -5

     y’ = 16

$\Rightarrow$ M’(-5; 16)

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A

5.2. Dạng 2: Tìm hình ảnh của một đường thẳng liền mạch qua loa phép đối xứng tâm

Phương pháp: phụ thuộc đặc thù phép đối xứng tâm tiếp tục thay đổi một đường thẳng liền mạch trở nên đường thẳng liền mạch tuy vậy song hoặc trùng với nó

- Cách 1: Lấy nhì điểm bất kì nằm trong đường thẳng liền mạch ê. 

- Cách 2: Tìm hình ảnh qua loa phép đối xứng tâm của nhì điểm tiếp tục lấy kể từ bước 1.

- Cách 3: Từ nhì điểm nằm trong đường thẳng liền mạch tớ tiếp tục viết lách được phương trình đường thẳng liền mạch cần thiết dò la.

VD1: Cho đường thẳng liền mạch d nằm trong mặt mày phẳng phiu Oxy đem phương trình: 

x + 2y + 4 = 0. Vận dụng phép đối xứng tâm O(0;0), dò la hình ảnh của đường thẳng liền mạch d 

a. x + nó + 4 = 0

b. x + nó - 4 = 0

c. x + 2y - 4 = 0

d. 2x + 3y + 4 = 0

Giải

Ta đem phương trình d là x + 2y + 4 = 0, 

Lấy 2 điểm A(0; -2), B(-4; 0)

Gọi A’, B’ theo lần lượt là hình ảnh qua loa phép đối xứng tâm O của A, B. Khi ê tớ có:

     $x_{A'} =  -x_{A} = 0$

     $y_{A'} =  -y_{A} = 2$

$\Rightarrow$ A’(0, 2)

Tương tự:

     $x_{B'} =  -x_{B} = 4$

     $y_{B'} =  -y_{B} = 0$

$\Rightarrow$ B’(4, 0)

Gọi d’ là hình ảnh của d qua loa phép đối xứng tâm O. Khi ê, theo gót đặc thù của phép đối xứng tâm thì d’ tiếp tục trải qua nhì điểm A’ và B’.

Suy rời khỏi $\overline{A'B'}$ là vectơ chỉ phương của d’

Ta có: $\overline{A'B'} (4; -2) \Rightarrow \bar{n} (1; 2)$

Phương trình đường thẳng liền mạch d’ là:

    1(x - 0) + 2(y - 2) = 0

$\Rightarrow$ x + 2y - 4 = 0 

$\Rightarrow$ Chọn đáp án C

VD2: Trong mặt mày phẳng phiu Oxy cho tới đường thẳng liền mạch d đem phương trình là 

3x - 4y + 6 = 0, điểm I(2; -4). Viết phương trình đường thẳng liền mạch d' biết d’ là hình ảnh của d qua loa phép đối xứng tâm I.

a. 3x + 2y + 34 = 0 

b. -3x + 2y + 34 = 0 

c. 2x + 3y - 34 = 0 

d. -2x + 3y - 34 = 0 

Giải

Ta đem phương trình d là 3x - 2y + 6 = 0, 

Lấy 2 điểm A(0; 3), B(-2; 0)

Sử dụng phép đối xứng tâm I, tớ gọi A’, B’ theo lần lượt là hình ảnh của A, B. Khi ê biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm I là:

     $x_{A'}=2a - x_{A}$ 

     $y_{A'} =2b - y_{A}$

 ⇔ $x_{A'}=2 . 2 - 0$ 

      $y_{A'}=2 . (-4) - 3$  

⇔ $x_{A'}=4$ 

     $y_{A'}= -11$  

$\Rightarrow$ A’(4, -11)

Tương tự:

     $x_{B'}=2a - x_{B}$ 

     $y_{B'}=2b - y_{B}$

 ⇔ $x_{B'}=2 . 2 + 2$ 

      $y_{A'}=2 . (-4) - 0$  

⇔ $x_{A'}=6$ 

     $y_{A'}= -8$  

$\Rightarrow$ B’(6, -8)

Sử dụng phép đối xứng tâm I tớ đem d’ là hình ảnh của d. Khi ê, d’ tiếp tục trải qua nhì điểm A’ và B’.

Ta có: $\overline{A'B'} (2; 3) \Rightarrow \bar{n} (-3; 2)$

Phương trình đường thẳng liền mạch d’ là:

    -3(x - 4) + 2(y + 11) = 0

$\Rightarrow -3x + 2y + 34 = 0$ 

$\Rightarrow$ Chọn đáp án B 

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô ôn luyện kỹ năng và kiến thức và xây cất trong suốt lộ trình ôn thi đua Toán trung học phổ thông Quốc gia sớm đạt 9+

5.3. Dạng 3: Tìm hình ảnh của đàng tròn trĩnh qua loa phép đối xứng tâm

Phương pháp: phụ thuộc việc thay đổi đàng tròn trĩnh trở nên đàng tròn trĩnh đem nằm trong nửa đường kính của phép đối xứng tâm.

- Cách 1: Tìm nửa đường kính và tâm của đàng tròn trĩnh. 

- Cách 2: Dùng phép đối xứng tâm dò la hình ảnh của tâm đàng tròn trĩnh.

- Cách 3: Viết phương trình đàng tròn trĩnh đem nửa đường kính vì thế nửa đường kính đàng tròn trĩnh đề bài bác và đem tâm vừa vặn tìm kiếm được phía trên.

VD1: Trong mặt mày phẳng phiu tọa phỏng Oxy, dò la phương trình đàng tròn trĩnh (C') là hình ảnh của đàng tròn trĩnh (C): $(x - 1)^{2} + (y+3)^{2}=16$ qua loa phép đối xứng tâm O(0; 0).

a. $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}=16$

b. $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$

c. $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}=9$

d. $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}=9$

Giải

Gọi tâm và nửa đường kính của đàng tròn trĩnh (C) theo lần lượt là I và R

Ta đem phương trình (C): $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$

Suy ra: tọa phỏng I(1; -3), R = 4

Gọi tâm và nửa đường kính của đàng tròn trĩnh (C’) theo lần lượt là I’ và R’

Theo đặc thù của phép đối xứng tâm O, tớ có 

R’ = R = 4

Biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm O là:

    x’ = - x = -1

    y’ = - nó = 3

$\Rightarrow$ I’(-1; 3)

Suy rời khỏi phương trình đàng tròn trĩnh (C’) là:

        $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}=16$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án A

VD2: Trong mặt mày phẳng phiu Oxy cho tới đàng tròn trĩnh (C): $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1=0$ điểm A(1; 2). Tìm hình ảnh của (C) qua loa phép đối xứng tâm A.

a. $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$

b. $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$

c. $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

d. $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

Giải

Gọi tâm và nửa đường kính của đàng tròn trĩnh (C) theo lần lượt là I và R

Ta đem phương trình (C): 

     $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1=0$

⇔ $(x^{2} + 2x +1) + (y^{2} - 4y + 4) + 1 - 1 - 4=0$

⇔ $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

Suy ra: I(-1; 2) và R = 2

Gọi tâm đàng tròn trĩnh (C’) là hình ảnh của (C) qua loa phép đối xứng tâm A đem tâm và nửa đường kính theo lần lượt là I’ và R’

Ta có:

R’ = R = 2

Biểu thức tọa phỏng phép đối xứng tâm A là:

     x’ = 2a - x

     y’ = 2b - y 

⇔ x’ = 2 . 1 + 1

     y’ = 2 . 2 - 2 

⇔ x’ = 3

     y’ = 2

$\Rightarrow$ I’(3; 2)

Suy rời khỏi phương trình đàng tròn trĩnh (C’) là:

$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2}=4$

$\Rightarrow$ Chọn đáp án D

Trên đấy là không hề thiếu nội dung và bài bác luyện đem điều giải cụ thể về phép đối xứng tâm thuộc lịch trình Toán 11. Hy vọng những em hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm và áp dụng chất lượng tốt bài bác giảng này nhằm đạt điểm trên cao trong số kỳ thi đua sắp tới đây. Các em hoàn toàn có thể truy vấn tức thì Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ nhằm sẵn sàng được kỹ năng và kiến thức tốt nhất có thể cho tới kỳ thi đua trung học phổ thông Quốc gia nhé!

Bài viết lách tìm hiểu thêm thêm:

Phép quay

Phép đối xứng trục

Phép tịnh tiến